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《数理同源》-8-费曼的路径积分(一)  

2015-06-10 00:23:56|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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7. 费曼的路径积分(一)    

已故的著名物理学家理查德·费曼(RichardPhillips Feynman,1918-1988)将最小作用量原理应用到量子力学,提出了对量子论一种完全崭新的理解,那就是费曼路径积分。

高中时代的费曼第一次听他的老师巴德给他讲到最小作用量原理,便为它的新颖和美妙所震撼。我想,这种感受一直潜藏在费曼脑海深处,之后才能转化成如同一支“神来之笔”,使他在量子理论中勾画出路径积分以及费曼图这种天才的神思妙想。

作为一个大学本科生,费曼在MIT了解到量子电动力学面临着无穷大的困难。费曼是一个勇于挑战、充满创造力的科学家,他不被当时物理学的困境和前辈们的一筹莫展所吓倒,而是将此视作一个机会,并由此而立下雄心大志:首先要解决经典电动力学的发散困难,然后将它量子化,从而获得一个令人满意的量子电动力学理论。费曼说【1】:“既然他们对我想要解决的这一问題都没有给出一个令人满意的答案,我就不必理睬他们的工作。”费曼凭直觉把这个无穷大的原因归结为两点:一是因为电子不能自己对自己产生作用,二是来源于场的无穷多个自由度。当费曼到达普林斯顿大学成为约翰·惠勒的学生之后,他将自己的想法告诉惠勒。惠勒比费曼大7岁,与波尔和爱因斯坦均有交往,两位名师手下的高徒,对物理学的理解显然比当时的费曼更胜一筹。惠勒当即指出费曼想法中几个错误所在,但也保留了这个年轻人想法中的某些精华部分。在惠勒的指导和帮助下,费曼兴致勃勃地开始了他的博士研究课题。不久之后,两人首先合作解决了经典电动力学中的无穷大问题【2】。

费曼始终没有忘记中学时听到最小作用量原理时给他带来的震撼,总想由此而导出电动力学。因而,他对经典电动力学构造了一个作用量的表达式(不喜欢公式的读者请忽略以下几个表达式,只读上下文也能很好地理解其中的内容)【3】:

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                                                                                                                                            (7.1)

 

由此作用量之表达式,在一定条件下,费曼可以推导出麦克斯韦方程。

费曼自认为比较满意地解决了经典电动力学的问题之后,便想将上述作用量量子化,以建立量子电动力学的新理论。尽管费曼为此努力了好几年却一直未能成功,他却始终不渝地坚信问题的关键是要寻找适当的作用量的表达式。

在一次酒店聚会上,费曼偶遇一个到普林斯顿访问的欧洲学者Herbert  Jehle。费曼问他是否知道有谁在量子力学中引进过作用量的概念?Jehle说:“有啊,狄拉克就做过!”

这时,费曼才知道狄拉克在1933年(距当时好几年前)【4】的一篇文章中就已经将拉格朗日函数引入了量子力学。于是,费曼急不可耐地去图书馆找来了那篇文章,并在Jehle的帮助下,理解并发展了狄拉克的想法,几年来的冥思苦想终于在狄拉克文章的启发下得到了答案。之后,在此基础上,费曼进而提出了与最小作用量原理相关的量子力学路径积分法。

对应于牛顿定律,量子力学中粒子运动的规律由薛定谔方程描述。量子力学与经典力学不同的是,牛顿方程描述的是粒子运动的轨迹,是一条线。而薛定谔方程的解却是一个全空间的波函数y。波函数的平方被解释为粒子在空间出现的几率。既然是一种波,它最好的类比物当然是光波。从前面几节的叙述中我们已经了解到:几何光学中的最小作用量原理就是费马原理,那儿的作用量指的是“光程”。而光程又是什么呢?光程被定义为相应时间内光在真空中走过的距离,但它从本质上来说,所对应的是光波的相位。因为随着光的传播,光程增加,其相位便随之而周期性地变化。如图1中左图所示。

《数理同源》-8-费曼的路径积分(一) - 万花飞落 - 万花飞落

图1:光程、相位、和惠更斯原理

 

狄拉克认为,量子力学中几率波的传播方式可以类比于光学中的惠更斯原理(图1右)。惠更斯将行进中的波阵面上任一点都看作是一个新的次波源,这些次波源发出的所有次波下一时刻所形成的包络面,就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。如果用数学语言来描述,惠更斯原理可以用下列积分来表示:

《数理同源》-8-费曼的路径积分(一) - 万花飞落 - 万花飞落                                                            (7.2)

 

公式中的G(x,y),是时刻t1的波动到时刻t2的波动的转换函数,或称之为“核Kernel”,或传播子。狄拉克还指出,传播子在量子力学中应该对应于:exp(i(t2- t1)* L/h),其中的h 是表征量子效应的普朗克常数,而L则是经典力学中的拉格朗日量。

 狄拉克的这个将量子力学与经典力学中拉格朗日量联系起来的提议,立即在费曼脑海中产生了巨大反响。“这个想法太妙了!”费曼大受启发,也就是说,经典力学中的作用量应该体现在波函数的相位因子中!并且,费曼进一步大胆猜测:狄拉克的意思可能还不仅仅是说“对应于”,狄拉克难道是说量子力学中传播子就等于exp(i(t2- t1)* L /h)?不管怎么样,如果我让它们相等,能得到什么结果呢?

 于是,费曼开始了他的近似计算“游戏”!首先,费曼令e = (t2- t1)。首先只考虑当e比较小的时候的情形,这样有可能便于作近似。然后,他将经典的拉格朗日量采取动能减去势能那种最简单的形式:L=T-V=(1/2)m((y-x)/e)2-V。如此而来,费曼得到短时间内波函数传播子的表达式为:

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                                                                (7.3)

 

因为G(x,y)是时刻t1到时刻t2的波函数之间的转换函数,这儿考虑的是粒子出现的几率波,没有了“速度”的概念,因而,拉格朗日量L不应该像经典拉格朗日量那样被看成是坐标和速度的函数,而应该被看作是时刻t1、t2以及对应的坐标x和y的函数,其中的动能也不能写成速度的函数的形式。动能的表达式成为:(1/2)m(x-y)2/e2。

 正因为对速度概念的上述考虑,狄拉克的假设只当(t2-t1)=e为极小量的时候才能成立。然后,费曼将(7.3)中的指数函数按照e 的泰勒级数展开。展开指数项之后,费曼首先发现他原来认为传播子就等于exp(i(t2- t1)* L /h)的猜想不是很准确的,至少应该还需要一个因子!所以,费曼兴高采烈地对介绍狄拉克文章给他看的Jehle说:“啊,狄拉克的意思不是说‘等于’,而是‘正比于’!”。加了这个因子之后,费曼将传播子重新表示为:

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费曼又对公式(7.4)作了一些近似考虑和泰勒展开之类的代数运算后,得到:

 

《数理同源》-8-费曼的路径积分(一) - 万花飞落 - 万花飞落                                                                  (7.5)

 

这个结果让Jehle既兴奋又吃惊,因为左手边的表达式中写在ih后面的,正是波函数对时间的偏导数表达式。所以,费曼用传播子(7.4)代人(7.2),最后导出的方程(7.5),实际上就是含时的薛定谔方程!

 (未完待续)

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