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相对论与黎曼几何-15-引力场方程  

2015-06-10 01:01:03|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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15. 引力场方程

 

闵可夫斯基是爱因斯坦的老师,为他的狭义相对论奠定了数学基础。

瑞士数学家马塞尔·格罗斯曼(Grossmann Marcell,1878-1936)则是爱因斯坦的同学。这两位同窗好友的缘分很深,或许真的可以说,没有格罗斯曼,可能就没有伟人爱因斯坦。在爱因斯坦自己的回忆中,他称格罗斯曼为他的铁杆儿朋友。这个“铁哥们儿”完全不同于爱因斯坦,格罗斯曼在学校里是个上课认真听课做笔记的好学生。然后,这些完整的笔记就成为爱因斯坦每次考试时的救命稻草,让他得以敷衍考试,完成学业,用心思考他认为更重要的事情。在大学毕业后,又是格罗斯曼,靠他父亲的关系,帮失业许久的爱因斯坦推荐了瑞士专利局的工作。据说这种工作就像现在的公务员,收入不菲、稳定轻松,显然最适合爱因斯坦当时那种看起来心不在焉、脑袋里天马行空的“独立思考者”。

就像是天意安排的,格罗斯曼后来成为黎曼几何专家。在爱因斯坦为找不到适当的数学工具来表述他的天才物理思想而困惑多年之后,又是这个铁哥们儿,向爱因斯坦提起了黎曼几何,此外还将里奇和契维塔等这方面的数学专家介绍给他,从而使爱因斯坦用黎曼几何和张量分析这两个强大的数学工具,顺利地克服难关,创立了他最为得意的弯曲时空的物理理论:广义相对论。

 

1912年左右,爱因斯坦有了等效原理,有了时空弯曲的想法,有了黎曼几何,有了张量微积分,万事皆备,于是,他开始着手构造他的新引力场方程。

 

和牛顿的引力定律有所不同,爱因斯坦想要建立的是“场”方程。我们在前面曾经提到过,所谓“场”的意思就是说空间中每个点都有一个的物理量,一般而言这个物理量逐点不一样。“场”的概念在物理上最先是由法拉第提出,麦克斯韦在其基础上建立了电磁场的方程。在这之前,拉格朗日在研究牛顿理论时,曾经引入了引力势的概念。后来,拉格朗日的学生泊松推广了引力场理论,建立了与牛顿万有引力定律等效的引力场泊松方程:

Dj=4πGρ。                                                                                (2-15-1)

式中的D是拉普拉斯算符,这是引力势j满足的对坐标的二阶微分方程,方程右边的G和ρ分别是万有引力常数和空间的质量密度。

 

这里再插上一段历史典故。其实,在爱因斯坦建立两个相对论的过程中,数学家庞加莱基本上一直与他并肩同行。尽管两位伟人只在第一次索尔维会议上有过短暂会面。之前我们曾经叙述过庞加莱曾经走到了狭义相对论的边缘,实际上他在1906年就已经构造了第一个相对论的引力协变理论【1】,虽然尚有缺陷,但引力场理论已见雏形。

 

庞加莱的不足之处可能仍然是在于对时空的物理本质挖掘得不够深入,在他看来,洛伦茨变换、统一时空等等,都仅仅是使理论完美漂亮的数学手段而已。

 

真正使爱因斯坦的引力观念飞跃上升到时空几何层次的,是他的好友埃伦费斯特提出的转盘佯谬。在这个悖论中,一个圆盘以高速旋转。试想圆盘由许多从小到大的圆圈组成,越到边缘处圆圈半径越大,圆圈的线速度也越大。由于长度收缩效应,这些圆圈的周长会缩小。然而,因为圆盘的任何部分都没有径向运动,所以每个圆圈的直径将保持不变。周长与直径的比值是我们所熟知的常数:圆周率p。但根据狭义相对论的尺缩效应,圆盘高速转动时比值会小于p。就好象圆盘弯成了一个曲面一样,如图2-15-1a所示。

 

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图2-15-1:转盘佯谬

 

如果圆盘是一个刚体,就不可能弯曲。于是,这个佯谬有另外一种叙述方法:对同样一个圆盘边缘,由于相对论的“尺缩效应”,位于圆盘边缘上观测者的尺子,测量边缘时,要比静止观测者的尺子更短,所以,运动观测者测量到的圆盘周长,大于静止观测者的结果,而当运动观测者测量直径的时候,尺子不会缩短,所以,运动观测者测量到的周长与直径的比值,要大于圆周率。

 

总之,无论何种说法都好像要碰到非欧几里德几何。爱因斯坦由此意识到他最初企图将引力和加速度系统包括进狭义相对论的想法是行不通的,他需要另外一种几何,来描述被引力(或加速度)弯曲了的时空。由于我们所在的真实宇宙中各处的引力是不一样的,因而时空的弯曲程度也将处处不一样。爱因斯坦苦苦思索这一切达7、8年之久,终于惊喜地发现黎曼几何正好可以将他的狭义相对论与引力场弯曲时空的思想完美地缝合在一起,缝成一个美妙的新理论。

 

爱因斯坦喜欢黎曼几何中的“度规”张量场,认为它非常类似于他想要描述的引力势。因此,爱因斯坦现在有了明确的目标:建立一个与空间度规有关的引力场方程,这个方程在“低速弱场”的近似下,应该得到牛顿引力定律的结果,也就是得到公式(2-15-1)所描述的泊松方程。

 

那我们再回头看看公式(2-15-1),它的左边是引力势对空间的二阶导数,右边除了几个常数之外,是物质密度ρ。因而,泊松方程在物理上可以解释为:空间的物质分布决定了空间的引力势。空间的引力势场是泊松方程的解。

 

爱因斯坦想要的引力场方程则应该解释为:时空中的物质分布决定了时空的度规。将度规类比于引力势,那么,泊松方程左边的引力势的二阶导数就应该对应于度规的二阶导数。从我们所学过的黎曼几何知识,与度规二阶导数有关的是曲率张量。所以,场方程的左边应该是曲率张量表征的几何量。曲率张量有好几种,爱因斯坦选中了有两个指标的里奇曲率张量。那么,场方程的右边又是什么呢?爱因斯坦将质量密度ρ的概念扩展成一个张量,称之为能量动量张量。总结上面的想法,爱因斯坦的引力场方程有如下形式【2】:

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方程(2-15-2)右边的G和公式(2-15-1)中的G一样,是牛顿万有引力常数。Tmn是四维时空中的能量动量张量,其物理意义如公式(2-15-3)所示,其一般表达式非常复杂,因为爱因斯坦企图把能够产生引力效应,或者说产生时空弯曲的所有“物质”形态都包括在内。这些“物质”形态不仅仅包括具有静止质量m的通常意义下的物质,还包括了所有具有能量的状态,因为按照爱因斯坦著名的质能关系式E=mc2,任何形态的能量都可以等同于一定的质量,都应该对时空弯曲有所贡献。因而,宇宙中各个系统的剪应力和压强也以动量流的形式被包含在能量动量张量中。

 

方程的左边则是时空的几何描述部分,其中第一项的Rmn是爱因斯坦最开始就选中了的里奇曲率张量,后来,他发现如果只有第一项Rmn的话,方程不能自动满足能量守恒和动量守恒的要求,即满足能量和动量的连续性方程。于是,他便加上了里奇标量曲率R与度规gmn相乘的第二项。

 

从爱因斯坦引力场方程左边右边的构成元素,不难明白其物理意义。一个物理方程的求解过程,就是从已知的物理量而得到未知函数的过程。对引力场方程(2-15-2)而言,需要求解的未知函数是4维时空的度规张量gmn。从方程右边的表达式看起来,是里奇曲率张量的线性方程。但是因为里奇曲率张量不是度规的简单线性函数,所以,整个爱因斯坦场方程对于待求解的度规张量gmn而言,是高度非线性的,这一点也是完全不同于其它的物理方程之处。比如描述电磁场的麦克斯韦方程、量子力学的薛定谔方程等等,都是线性偏微分方程,从而可以应用线性叠加原理,即“两个解的线性组合仍然是方程的解”。但这种说法对引力场方程不再成立,因此,求解广义相对论的引力场方程异常困难。

 

此外,能量动量张量表达式(2-15-3)中,看起来包括了所有的产生时空弯曲的“源泉”,但是仍然缺少了一个源泉:引力场自身。引力场或引力波也是一种物理存在,也具有能量,它是否也要被考虑进能量动量张量之中呢?爱因斯坦并未将它放进去,也不知如何放进去,但是,在研究计算具体问题时,却务必需要记住这点。

 

在“低速弱场”的近似下,引力场方程(2-15-2)可以简化成泊松方程。也就是说,如果物体运动的速度比起光速来说低很多,而能量-动量张量中元素的数值不太大的情况下,广义相对论的结果与经典牛顿力学一致。因而,爱因斯坦对他构造的引力场方程基本满意。

 

不过,刚才我们还没有谈到方程(2-15-2)左边的第三项。那是与度规张量成正比的一项,其中的比例系数L,便是著名的宇宙常数,爱因斯坦将它引进到场方程中,演绎出一段有趣的故事。并且,物理界和天文界对此宇宙常数的研究兴趣盎然经久不衰,因为它的存在与宇宙中发现的“暗能量”有关。欲知详情,且看下回分解。

 

参考资料:

 

【1】PoincaréH. Sur la dynamique de l’électron. Rendiconti del circolo matematico diPalermo,

21, pages 129–175, received July 23, 1905, published in January 1906.

Translation:On the Dynamics of the Electron By H. Poincaré (Paris). http://en.wikisource.org/wiki/Translation:On_the_Dynamics_of_the_Electron_(July)

 

【2】CharlesMisner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation. W H Freeman.

 

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