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统一路---苏黎世一只孤独的狼  

2015-06-06 23:00:12|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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“苏黎世一只孤独的狼”--外尔的无穷小几何

数学家多少有几分诗人气质,德国数学家外尔(Weyl,1885-1955年)【1】就给人这样的印象,也许是在神圣的数学王国中遨游,长期受美之熏陶所致,时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己崇拜的偶像爱因斯坦批评时感觉失望和迷茫的心态。那是外尔研究统一场论时的一段故事。

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上一节中介绍的卡鲁扎的5维方法,是在4维时空中加上1维额外的空间,来增加时空度规的自由度,以便将电磁作用包括进来。卡鲁扎并未改变黎曼几何。爱因斯坦曾经想玩弄的花招就更为形式化了。他也曾经反复探究如何在度规张量上做文章。比如说,原来的4维黎曼度规,因为它的对称性,只有10个独立分量。如果放弃这种对称性的话,独立分量的数目就增加到16个,另外6个量就可以用来表示电磁场。另一种方法是将黎曼度规从实数推广到复数。但这样玩来玩去的结果,连爱因斯坦自己也发现,除了将电磁力和引力用同一个名字的矩阵(或张量)的不同分量表示之外,没有什么实质性的变化。就像把一瓶水和一罐面粉,不打开就塞进一个大袋子里一样,水和面粉没有实质变化,和将水与面粉搅和所成之物是大不一样的。那不是物理学家追求的“统一”。其实,不仅玩物理需要思想,玩数学也同样需要思想。深奥的思想才能产生数学之内在美,否则只是装潢于表面的漂亮形式而已。

外尔的做法则不同,他是从无穷小的本质上来研究和扩展黎曼几何,然后再企图实现引力和电磁场的统一。外尔比爱因斯坦小几岁,与这位德国老乡类似,他的大部分时间在瑞士苏黎世和美国普林斯顿度过。1915年初,外尔应征入伍,但第二年便回到了苏黎世联邦工业大学。那时正值广义相对论诞生之初,这个划时代的美妙理论使外尔兴奋激动,走火入魔,并毫不犹豫地投身其中。外尔立即在学校开设和教授了广义相对论课程。

外尔不仅仅是爱因斯坦理论的热心鼓吹者和追随者,他被认为是20世纪最有影响力的全才数学家之一,是早期普林斯顿高等研究院的重要成员。他的许多研究工作,对理论物理和纯数学领域,都产生了重要的影响。

外尔对黎曼几何的质疑,从考察平行移动【2】的概念开始。对广义相对论或黎曼几何有所了解的人都知道,在弯曲空间中,一个矢量沿闭曲线移动一圈后,方向会有所变化,其改变的数值与回路所包围面积的弯曲情况(曲率)有关。但是,黎曼几何中这个矢量的长度却没有变化,无论空间怎么弯曲,无论你沿着哪条曲线移动,矢量的长度都不会改变。这个性质是与用坐标微分的二次式表示的弧长ds2不变性有关的。

相对于整体空间使用同一套坐标系的欧几里德几何而言,黎曼几何是一种局部几何。所谓“局部”的意思是说,两个矢量的方向不能直接作远程比较,必须通过所谓的“平行移动”将它们放到同一个点上,才能进行比较。而有限的平行移动是由无穷小的移动连续操作而构成的。一般来说,矢量移动到一个有限远点的变化依赖于所经过的路径。如图2-1a所示,矢量vp从点p出发,沿着不同的路径C1和C2,平行移动到q,将得到两个不同的矢量:vq(C1)和 vq (C2)。

因而,矢量的远程比较与路径有关,这是黎曼几何的重要特点。几何上不能进行远程比较,对应于物理中对“超距作用”的否定。牛顿的引力理论便属于超距作用,在有了场的概念之后,描述基本作用的物理定律一般用偏微分方程来描述。这意味着作用力不是超距的,因为它们的相互影响通过无穷小的距离起作用。因而,描述基本力的几何应该是“无穷小几何”。但是,外尔认为,黎曼有关ds2不变的基本假设又违背了这种“无穷小几何”的思想,因为按照这个假设,矢量的长度在平行移动时总是不会改变的,这样一来,长度便可以作直接的远程比较。所以,外尔认为,黎曼几何不是一个真正的无穷小几何。

外尔由此提出他的“纯粹无穷小几何”,或称外尔几何。也就是说,在图2-1a中,对黎曼几何而言,vq(C1)和 vq (C2)仅仅方向不同,而根据外尔几何,vq(C1)和 vq (C2)的方向和大小都不同。

换一种说法,如果考虑矢量沿闭合曲线绕行一周的情况,如图2-1b和c所示,当矢量vp从点p出发,沿着回路C,平行移动一周之后回到p,得到vp(C)。根据黎曼几何,vp和 vp(C)仅仅方向不同,而根据外尔几何,vp和 vp(C)的方向和大小都可能不同。

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图2-1:外尔几何和黎曼几何中的平行移动之比较

如何才能使得平行移动后的矢量方向和大小都改变呢?外尔通过在黎曼度规gij中,乘上一个任意的标量尺度因子λ(x)来实现这一点:

ds2 = λ(x) gij dxi dxj。

外尔并不是随便地给黎曼度规加上一个莫名其妙的任意尺度因子,他的最终目的是要用他的数学模型来实现引力和电磁场的统一。他企图以平行移动时矢量的长度变化为代价,得到一个任意函数λ(x),正是这个函数的“任意性”,提供了某种几何上的自由度,以使得能够将电磁场容纳在这种几何之内。

那时候,物理学家们已经使用4维电磁势Am来描述电磁场,外尔的直觉告诉他,电磁势A是比电磁场的场强E和B更为基本的物理量。并且,对应于同样的电磁场,电磁势可以有不同的选择,这种选择的自由度为他提供了一个可能性:将电磁势Am与他的标度因子λ(x)关联起来。

也就是说,外尔使用一个在时空中每一点不一样的任意尺度因子函数λ(x),给原来的黎曼度规gij,引入了一种标度变换,他希望这种变换对应于在麦克斯韦方程中选取不同的电磁势Am。

考虑满足狭义相对论的光速不变原理,外尔认为这种尺度变换至少应该保持每一点的光锥不变。

首先,我们可以将外尔的标度变换写成如下形式:λ(x) = eθ(x)。当我们选择特殊的标度函数θ(x)≡ 0,亦即λ(x)≡ 1时,便回到了黎曼几何的情况。因此,外尔假设他的几何中的度量关系由两个基本型决定,其一是原来的二次式黎曼度规:

ds2 = gij dxi dxj,

另一个是坐标微分的一次项,也就是一个协变矢量:

dA = Ai dxi。

采取第一个基本型的原因是因为黎曼度规必须保留,如此才能导出爱因斯坦的引力场方程,以便使理论适合广义相对论;第二个基本型中的矢量,便对应于4维电磁矢量势A。正如刚才提到的,对确定的电磁场E和B而言,电磁势A并不是唯一的,在这儿就对应于外尔定义的标度变换:

gij → eθ(x) gij ,Ai→ Ai ? ?iθ(x)。

上述变换实际上就是后来人们所说的“规范变换”。今天我们所用的规范一词,比如规范不变性(gauge invariance),就是从外尔几何中的标度不变性(EichInvarianz)英译而来。

外尔在黎曼几何二次型度规的基础上,加上了一个一次形式来包容电磁场,这在数学上看起来是非常美妙的一招,并且还有它的“纯粹无穷小几何”之解释,也闪耀着新思想的火花。因此,外尔兴致勃勃地将他的文章寄给了爱因斯坦,但得到的反馈却不怎么的。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”,一方面又从物理的角度,强烈批评这篇文章脱离了物理的真实性。因为从物理上讲,外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x),即相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位,也就是有任意不同标度的钟与尺,这在物理上是不可能被接受的。

爱因斯坦在给外尔回信中认为,当人们利用标尺和时钟的测量结果来定义ds时,不存在任何不确定性。假若在大自然中真有外尔假设的任意标度函数的话,就不会存在带有确定频率谱线的化学元素,两个在空间上邻近的同类原子的相对频率必然会不同。而事实情况不是这样,所以,该理论的基本假设不可取,尽管每一位读者初看时都会由衷地赞叹它数学上的深刻性与独创性。

面对爱因斯坦的反对意见,外尔失望和落寞,他以朋友海塞的小说《荒原狼》的主人翁自比,他在给爱因斯坦的回信中说:“我们之间已经战斧高悬,但仍然阻挡不了我对您真诚的敬意。”这只“孤独的狼”并未放弃他的理论,而是进一步地深入探讨黎曼几何中度量的本质,以及仿射联络空间等概念,以使他的几何有更为牢靠的数学理论基础。外尔坚信:数学理论上简洁而美妙的东西必将有它揭示出深奥物理内容的一天。他曾经半开玩笑地说过一句名言:“我的工作总是努力将真与美统一起来;但是,如果只能选择其中之一,那么我选择美。”这句话充分表现了外尔作为数学家的独特而与众不同的审美观,以及他对自然规律必然具有数学美的深刻信念。

外尔企图统一引力和电磁场的尝试,当然是失败了,这点没有什么可责难的,实际上直到现在也没有一个令人满意的理论将引力和其它3种相互作用(包括电磁作用)统一在一起。但当量子力学进一步发展起来之后,外尔几何以一种修正的形式在现代物理中发挥了大用途,对此我们将在下一节中介绍。

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